Проекция Меркатора

Равноугольная цилиндрическая проекция впервые была предложена и применена в 1569 году голландским картографом Меркатором.

Для вывода формул этой проекции определим сначала масштаб по параллелям в простейшей из цилиндрических проекций в так называемой квадратной проекции. В этой проекции меридианы и параллели, проведенные через одинаковое число градусов по долготе и широте, образуют на карте сетку квадратов, причем сохраняются длины по всем меридианам и экватору (проекция равнопромежуточная).

Пусть PC0A0 и PD0B0 (рис. 1) -меридианы на глобусе радиуса R с бесконечно малой разностью долгот, а прямые

Рис. 1. Два меридиана и две параллели на глобусе и на карте в цилиндрической проекции

СА и DB - соответствующие меридианы на карте в квадратной проекции.

Тогда бесконечно малому отрезку С0D0 произвольной параллели с широтой и радиусом r на глобусе будет соответствовать на карте бесконечно малый отрезок CD, и масштаб по параллели

CD = AB = A 0 B 0 ,

Где A0B0 - дуга экватора.

Так как отношение дуг окружностей равно отношению их радиусов, то

Из ОС 0С" , где ОС 0С" = Имеем

Следовательно,

Из формулы видно, что масштаб по параллели в квадратной проекции изменяется от единицы до бесконечности, причем единице он равен на экваторе (при = 0°), а бесконечности-в точке полюса (при = 90°). Полюс в квадратной проекции изобразится отрезком прямой, равным по длине экватору.

Теперь, чтобы сделать масштаб по меридианам равным масштабу по параллелям (m=n), т. е. чтобы перейти от квадратной проекции к равноугольной (от эллипсов искажений к кругам), необходимо меридианы квадратной проекции растянуть в каждой точке во столько раз, во сколько раз параллели этой проекции увеличены по отношению к соответствующим параллелям глобуса, т. е. в Раз. Следовательно, для превращения в первом приближении квадратной картографической сетки в картографическую сетку равноугольной проекции необходимо отрезки меридиана ОА, АВ, ВС и т. д. (рис. 2) соответственно умножить

Рис. 2. Превращение квадратной проекции в равноугольную цилиндрическую

на 1, 2, 3 и т. д., где 1,2, 3 - соответственно широты середин этих отрезков. Тогда меридианный отрезок ОС1 в равноугольной проекции, соответствующий отрезку ОС в квадратной проекции, представится выражением

ОС1 = О A 1 + A 1 В1, + В1С1 = О A 1 + AB 2 + BC 3 ,

А так как отрезки

ОА = АВ = ВС ,

ОС 1 =ОА (1 +2 +3).

Меридианный отрезок ОС 1 будет определен тем точнее, чем меньшими будут взяты составляющие его отрезки, поскольку растяжение меридианов должно носить непрерывный характер от экватора до данной параллели.

Наиболее точный результат будет получен тогда, когда меридианный отрезок D в проекции Меркатора будет состоять из суммы бесконечно большого количества бесконечно малых величин

,

Где Dx - бесконечно малый отрезок меридиана в квадратной проекции,

DD - соответствующий ему бесконечно малый отрезок меридиана в равноугольной проекции Меркатора. Но ввиду постоянства масштаба по меридианам в квадратной проекции отрезок

Сумму же бесконечно малых величин в высшей математике называют интегралом. Взять интеграл от обеих частей равенства это значит взять сумму бесконечно малых величин этих частей равенства в определенных пределах.

Интеграл от выражения в пределах значения широты от 0 до Напишем так

В результате интегрирования в левой части равенства получим меридианный отрезок D; правая же часть равенства представляет собой табличный интеграл, равный

Таким образом, меридианный отрезок

,

где С-постоянная интеграции.

Величина, С должна быть постоянной при всех значениях широты, поэтому ее легко определить, взяв = 0°. При = 0° параллель соответствует экватору, для которого D = 0, т. е.

Следовательно,

Переходя от натурального логарифма к десятичному и выражая D в главном масштабе карты и в сантиметрах, будем иметь окончательную рабочую формулу для вычисления меридианного отрезка D в равноугольной цилиндрической проекции для шара

(29)

Где Mod =0,4343.

Формула показывает, что меридианный отрезок D для полюса ( = 90°) равен бесконечности, т. е. полюс на карте в этой проекции не изобразится.

Принимая же Землю за эллипсоид, будем иметь формулу

(30)

Где а - радиус экватора земного эллипсоида (выражен в метрах),

U - та же величина, что и в формуле (22) равноугольной конической проекции.

Расстояния между меридианами в равноугольной проекции, как и в квадратной проекции, определяются по формуле

Где выражено в радианной мере. Принимая Землю за эллипсоид и выражая в главном масштабе карты и в сантиметрах, будем иметь

Часто эта формула пишется в виде

(31)

Где У - расстояние от среднего меридиана карты до определяемого,

°-разность долгот среднего и определяемого меридианов, выраженная в градусах, °=57°,3.

Очевидно, что искажения в равноугольной цилиндрической проекции на касательном цилиндре будут выражаться формулами

(32)

Для вычисления меридианных отрезков D, ординат у и масштабов в равноугольной цилиндрической проекции на секущем цилиндре рабочие формулы будут иметь вид

(34)

(35)

(37)

Где r0- радиус параллели сечения с широтой 0 на земном эллипсоиде,

r-радиус параллели с широтой на земном эллипсоиде, по которой определяется масштаб,

Главный масштаб карты,

°- разность долгот среднего и определяемого меридианов, выраженная в градусах.

Картографическая сетка в проекции Меркатора

Для построения картографической сетки в проекции Меркатора и нанесения опорных пунктов на составляемую карту необходимо знать прямоугольные координаты (меридианный отрезок D и ординату у) точек пересечения меридианов и параллелей и опорных пунктов.

Значение D по аргументу широты среднее выбирается из специальных таблиц, составленных Гидрографическим управлением ВМФ, а значение у вычисляется по формуле (35).

За начало координат на морских картах берется точка пересечения среднего меридиана и главной параллели морского бассейна, для которого составляются карты. Эта параллель является параллелью сечения, и масштаб по ней равен единице.

Зная прямоугольные координаты вершин углов рамки листа карты, находят размеры сторон этой рамки, как разности меридианных отрезков D для южной и северной параллелей и разности значений у для западного и восточного меридианов. По найденным размерам сторон строят прямоугольник (внутреннюю рамку листа), который будет являться основой для построения промежуточных меридианов и параллелей карты, а также для нанесения опорных пунктов.

Меридианы и параллели в проекции Меркатора изображаются параллельными и взаимно-перпендикулярными прямыми, поэтому для их построения достаточно определить меридианные отрезки D. Для точек пересечения параллелей карты с осью X и ординаты у для точек пересечения меридианов карты с осью У. Когда эти значения найдены, определяют разности D - Dю и у - у3 для указанных точек. Здесь Dю - меридианный отрезок южной параллели, а уз- ордината западного меридиана. Эти разности откладывают от вершины юго-западного угла рамки по западной и южной сторонам и через точки отложения проводят линии, параллельные соответственно южной и боковой сторонам, которые и будут являться параллелями и меридианами карты.

Рис 3 Картографическая сетка в равноугольной цилиндрической проекции (Меркатора)

На рис. 3 показана картографическая сетка в равноугольной цилиндрической проекции (на касательном цилиндре) для изображения земного шара. Значения масштабов в этой проекции приведены в таблице 4.

Таблица 4

Масштабы в равноугольной цилиндрической проекции Меркатора.

Благодаря тому, что проекция Меркатора является равноугольной, а меридианы изображаются в ней параллельными прямыми, она обладает одним замечательным свойством: линия, пересекающая все меридианы под одним и тем же углом, изображается в этой проекции прямой. Такая линия называется локсодромией. Движущееся судно, если оно с помощью компаса держит один и тот же курс, фактически идет по локсодромии. Указанное свойство проекции Меркатора привело к широкому ее использованию для морских карт.

Рис. 4. Ортодромия и локсодромия на карте в проекции Меркатора

Ортодромия и локсодромия

По карте, составленной в проекции Меркатора, легко и просто отмечать путь судна и определять его постоянный курс, т. е. направление, по которому оно должно двигаться, чтобы попасть из одной точки в другую. Постоянный курс судна определяется путем измерения транспортиром угла между прямой, соединяющей эти точки на карте, и одним из меридианов.

Однако следует заметить, что при большом расстоянии между точками А и В (рис. 4) локсодромия на сфере значительно отходит в сторону от ортодромии (кратчайшего расстояния между этими точками), которая в проекции

Рис. 5. Ортодромия и локсодромия между Нью-Йорком и Москвой на карте в проекции Меркатора.

Меркатора изображается кривой линией. В этом случае штурман ведет судно не по одному курсу, а по нескольким, меняя направление движения в определенных точках (а и b). Путь судна при этом изобразится на карте в виде ломаных линий хорд, вписанных в ортодромию. Применительно к рисунку, судно из точки А к точке А пойдет под азимутом из точки А к точке b - под азимутом , из точки b к конечной точке В - под азимутом .

Для наглядности можно указать (рис. 5), что между Нью-Йорком и Москвой длина ортодромии составляет 7507 км, а локсодромии - 8371 км, т. е. разница между их длинами равна 864 км. Наибольшее удаление точек локсодромии от ортодромии здесь достигает 1650 км.

Второе удобство проекции Меркатора в применении ее для морских навигационных карт состоит в том, что она позволяет легко, с достаточной для практики точностью, определять по карте расстояния в морских милях, не прибегая при этом к построению особых масштабов, а пользуясь лишь делениями (в градусах или минутах), нанесенными на боковых сторонах рамки карты. Морская миля равна 1852 м, что приблизительно соответствует средней длине дуги меридиана в одну минуту.

Если, например, по карте требуется определить в морских милях расстояние АВ (рис. 42), то, сняв раствором циркуля отрезок АВ, прикладывают циркуль к ближайшей боковой стороне рамки карты так, чтобы середина отрезка- точка С-оказалась на средней широте точек А и В (в точке С1). Количество меридианных минут, подсчитанное в пределах этого отрезка, и будет выражать расстояние АВ в морских милях (на рис. 6 отрезок А В = 215 миль).

В заключение необходимо отметить, что при составлении топографических и обзорно-топографических карт различных масштабов широко используются в качестве картографического материала различные Морские карты, составленные в равноугольной цилиндрической проекции. Поэтому знание особенностей этой проекции имеет большое практическое значение.

Рис. 6. Определение расстояния АВ в милях по карте в проекции Меркатора

Упражнение

Вычислить меридианный отрезок D и ординату «у» в равноугольной цилиндрической проекции на касательном цилиндре для точки с географическими координатами = 30°, 35° (от среднего меридиана, принятого за ось X) при = 1:5000000. Эллипсоид Красовского.

Равноугольная цилиндрическая проекция - 5.0 out of 5 based on 1 vote

В пеших путешествиях и велопоездках незаменимым спутником исследователя является топографическая карта. Одной из задач картографии (одной из дисциплин такой науки как геодезия ) является изображение криволинейной поверхности Земли (фигуры Земли) на плоской карте. Для решения этой задачи необходимо выбрать эллипсоид — форму трехмерного тела, приближенно соответствующего земной поверхности, датум — начальную точку системы координат (центр эллипсоида) и начальный меридиан (англ. prime meridian ) и проекцию — способ изображения поверхности этого тела на плоскости.

Эллипсоиды и датумы

В разное время для построения карт использовались различные варианты представления поверхности Земли в виде сферы или эллипсоида.

Представление Земли в виде сферы радиусом 6378137 метра (либо 6367600 метров) позволяет определить координаты любой точки на земной поверхности в виде двух чисел — широты $\phi$ и долготы $\lambda$:

Для земного эллипсоида в качестве (географической) широты используется понятие геодезическая широта (англ. geodetic latitude ) φ — угол, образованный нормалью к поверхности земного эллипсоида в данной точке и плоскостью его экватора, причем нормаль не проходит через центр эллипсоида за исключением экватора и полюсов:

Значение долготы (англ. longitude ) λ зависит от выбора начального (нулевого) меридиана для эллипсоида.
В качестве параметров эллипсоида обычно используются радиус большой (экваториальной) полуоси a и сжатие f .
Сжатие $f = {{a-b} \over a}$ определяет сплюснутость эллипсоида у полюсов.

Одним из первых эллипсоидов был эллипсоид Бесселя (Bessel ellipsoid, Bessel 1841 ), определенный из измерений в 1841 году Фридрихом Бесселем (Friedrich Wilhelm Bessel ), с длиной большой полуоси a = 6377397,155 м и сжатием f = 1:299,152815 . В настоящее время он используется в Германии, Австрии, Чехии и некоторых азиатских и европейских странах.

датум Potsdam (PD)

Ранее для построения карт в проекции UTM использовался международный эллипсоид (International ellipsoid 1924 , Hayford ellipsoid ) с длиной большой (экваториальной) полуоси a = 6378388 м и сжатием f = 1:297,00 , предложенный американским геодезистом Джоном Филлмором Хейфордом ( в 1910 году.

Джон Филлмор Хейфорд

датум ED 50 (European Datum 1950 )

• эллипсоид — International ellipsoid 1924
• Greenwich prime meridian )

Для выполнения работ на всей территории СССР с 1946 года (постановление Совета Министров СССР от 7 апреля 1946 г. № 760) использовалась геодезическая система координат СК-42 (Пулково 1942) , основанная на эллипсоиде Красовского с длиной большой (экваториальной) полуоси a = 6378245 м и сжатием f = 1:298,3 . Этот референц-эллипсоид назван в честь советского астронома-геодезиста Феодосия Николаевича Красовского. Центр этого эллипсоида сдвинут по отношению у центру масс Земли примерно на 100 метров для максимального соответствия поверхности Земли на европейской территории СССР.

датум Пулково-1942 (Pulkovo 1942)

• эллипсоид — Красовского (Krassowsky 1940 )
• нулевой меридиан — гринвичский меридиан (Greenwich prime meridian )

В настоящее время (в том числе и в системе GPS ) широко используется эллипсоид WGS84 (World Geodetic System 1984) с длиной большой полуоси a = 6378137 м, сжатием f = 1:298,257223563 и эксцентрисетом e = 0,081819191 . Центр этого эллипсоида совпадает с центром масс Земли.

датум WGS84 (EPSG:4326)

• эллипсоид — WGS84
• нулевой меридиан — опорный меридиан (IERS Reference Meridian (International Reference Meridian)) , проходящий в 5,31″ к востоку от Гринвичского меридиана. Именно от этого меридиана отсчитывается долгота в системе GPS (англ. GPS longitude )
  

Центр системы координат WGS84 совпадает с центром масс Земли, ось Z системы координат направлена на опорный полюс (англ. IERS Reference Pole (IRP)) и совпадает с осью вращения эллипсоида, ось X проходит по линии пересечения нулевого меридиана и плоскости, проходящей через точку начала координат и перпендикулярную к оси Z , ось Y перпедикулярна оси X .

Альтернативой эллипсоиду WGS84 является эллипсоид ПЗ-90 , используемый в системе ГЛОНАСС , с длиной большой полуоси a = 6378136 м и сжатием f = 1:298,25784 .

Преобразования датумов

При простейшем варианте перехода между датумами Пулково-1942 и WGS84 необходимо учитывать только смещение центра эллипсоида Красовского по отношению к центру эллипсоида WGS84 :
рекомендовано в ГОСТ 51794-2001 —
dX = +00023,92 м; dY = –00141,27 м; dZ = –00080,91 м;
рекомендовано в World Geodetic System 1984 . NIMA, 2000 —
dX = +00028 м; dY = –00130 м; dZ = –00095 м.
Следует отметить, что выше приведены усредненные значения коэффициентов, которые для более точного преобразования должны вычисляться для каждой точки земной поверхности индивидуально. Например, для соседней с Беларусью Польшей эти параметры таковы:
dX = +00023 м; dY = –00124 м; dZ = –00082 м (по данным )
Такое преобразование называется трехпараметрическим .
При более точной трансформации (преобразовании Молоденского ) необходимо учитывать разницу между формами эллипсоидов, определяемую двумя параметрами:
da — разница между длинами больших полуосей, df — разница между коэффициентами сжатия (разница в уплощении). Их значения одинаковы для ГОСТ и NIMA :
da = – 00108 м; df = + 0,00480795 ⋅ 10 -4 м.

При переходе между датумами ED 50 и WGS84 параметры преобразования таковы:
da = – 00251 м; df = — 0,14192702 ⋅ 10 -4 м;
для Европы dX = -87 м; dY = –96 м; dZ = –120 м (по данным User’s Handbook on Datum Transformations involving WGS-84, 3-е издание, 2003 ).

Набор из указанных пяти параметров (dX , dY , dZ , da , df ) может вводиться в навигатор или навигационную программу в качестве характеристики используемого пользователем датума.

Проекции

Способ изображения трехмерной земной поверхности на двумерной карте определяется выбранной картографической проекцией .
Наиболее популярны (нормальная ) цилиндрическая проекция Меркатора и такая ее разновидность как поперечно-цилиндрическая проекция Меркатора (Transverse Mercator ).

В отличие от известной в течение веков нормальной проекции Меркатора, которая особенно хороша для изображения экваториальных областей, поперечная проекция отличается тем, что цилиндр, на который проецируется поверхность планеты, повернут на 90°:

Цилиндрическая проекция Меркатора

Сферическая проекция Меркатора

Для сферической проекции действуют следующие формулы перевода широты $\phi$ и долготы $\lambda$ точки на поверхности земной сферы (в радианах) в прямоугольные координаты $x$ и $y$ на карте (в метрах):
$x = (\lambda — {\lambda}_0) \cdot R$ ;
$y = arcsinh (\tan (\phi)) \cdot R =\ln { (\tan{ ({\phi \over 2} + {\pi \over 4} }) }) \cdot R$
(logarithmic tangent formula ) ,
где $R$ — радиус сферы, ${\lambda}_0$ — долгота нулевого меридиана.
Масштабный коэффициент $k$ представляет собой отношения расстояния по сетке карты (англ. grid distance ) к локальному (геодезическому) расстоянию (англ. geodetic distance ):
$k = {1 \over {\cos \phi}}$.
Обратный перевод реализуется с помощью таких формул:
$\lambda = {x \over R} + {\lambda}_0 $ ;
$ \phi = {\pi \over 2} — 2 \arctan(e^{-y \over R}) $ .
Важной для мореплавания особенностью проекции Меркатора является то, что линия румба (англ. rhumb lines ) или локсодрома (англ. loxodrome ) на ней изображается прямой линией.
Локсодрома — это дуга, пересекающая меридианы под одним и тем же углом, т.е. путь с постоянным (локсодромическим ) путевым углом.
Путевой угол , ПУ (англ. heading ) - это угол между северным направлением меридиана в месте измерения и направлением линии пути, отсчитывается по часовой стрелке от направления на географический север (0° применяется для указания направления движения на север, 90° — на восток).
Локсодромы являются спиралями, совершающими неограниченное число витков, приближаясь к полюсам.

Следует отметить, что локсодрома не является кратчайшим путем между двумя точками — ортодромой, дугой большого круга , соединяющей эти точки.

Web Mercator

Вариант меркаторовской сферической проекции используется многими картографическими сервисами, например, OpenStreetMap, Google Maps, Bing Maps.

В OpenStreetMap карта мира представляет собой квадрат с координатами точек по осям x и y , лежащими между -20 037 508,34 и 20 037 508,34 м. Как следствие, на такой карте не показаны области, лежащие севернее 85,051129° северной широты и южнее 85,051129° южной широты. Это значение широты $\phi_{max}$ является решением уравнения:
$\phi_{max} = 2\arctan(e^\pi) — {\pi\over 2} $ .
Как и любой карте, составленной в проекции Меркатора, ей свойственны искажения площадей, наиболее ярко проявляющиеся при сравнении изображенных на карте Гренландии и Австралии:

При прорисовке карты в OpenStreetMap координаты (широта и долгота) на эллипсоиде в системе WGS84 проецируются на плоскость карты так, как будто эти координаты определены на сфере радиусом R = a = 6 378 137 м (перепроецирование) — сферическое представление эллипсоидальных координат («spherical development of ellipsoidal coordinates «). Этой проекции, получившей название Web Mercator ) соответствует EPSG (European Petroleum Survey Group ) код 3857 («WGS 84 / Pseudo-Mercator «).
Перепроецирование из EPSG:4326 в EPSG:3857 ($\phi ,\lambda \rightarrow x,y $) реализуется по вышеприведенным формулам для обычной сферической проекции Меркатора.
На такой карте направление на север всегда соответствуют направлению на верхнюю сторону карты, меридианы представляют собой равноотстоящие друг от друга вертикальные линии.
Но такая проекция в отличие от сферической или эллиптической проекции Меркатора не является равноугольной (конформной ), линии румба в ней не являются прямыми. Линия румба (локсодром ) — это линия пересекающая меридианы под постоянным углом.
Преимуществом рассматриваемой проекции является простота вычислений.

В указанной проекции карта может быть расчерчена прямоугольной сеткой координат (по значениям долготы и широты).
Привязку карты (сопоставление прямоугольных координат на карте и географических координат на местности) можно осуществить по $N$ точкам с известными координатами. Для этого необходимо решить систему из $2 N$ уравнений вида
$X = \rho_{\lambda} \lambda — X_0$ , $Y = arcsinh (\tan (\phi)) \cdot \rho_{\phi} — Y_0 $ .
Для решения системы уравнений и определения значений параметров $X_0$ , $Y_0$ , $\rho_{\lambda}$ , $\rho_{\phi}$ можно использовать, например, математический пакет Mathcad .
Для проверки правильности привязки карты можно определить отношение длин сторон прямоугольника построенной сетки. Если горизонтальная и вертикальная стороны прямоугольника соответствуют одинаковой угловой длине по долготе и широте, то отношение длины горизонтальной стороны (дуги параллели — малого круга) к длине вертикальной стороны (дуги меридиана — большого круга) должно быть равно $\cos \phi$ , где $\phi$ — географическая широта места.

Эллиптическая проекция Меркатора

Эллиптическая проекция Меркатора (EPSG:3395 — WGS 84/World Mercator ) используется, например, сервисами Яндекс.Карты , Космоснимки.
Для эллиптической проекции действуют следующие формулы перевода широты $\phi$ и долготы $\lambda$ точки на поверхности земной сферы (в радианах) в прямоугольные координаты $x$ и $y$ на карте (в метрах):
$x = (\lambda — {\lambda}_0) \cdot a$ ;
$y = a \ln (\tan ({\pi \over 4} + {\phi \over 2}) ({{1 — e \sin {\phi}} \over {1 + e \sin {\phi}}})^{e \over 2}) $ ,
где $a$ — длина большой полуоси эллипсоида, $e$ — эксцентриситет эллипсоида, ${\lambda}_0$ — долгота нулевого меридиана.
Масштабный коэффициент $k$ определяется выражением:
$k = {{\sqrt {(1 — {e^2} {{(\sin \phi)}^2})}} \over {\cos \phi}} $ .
Обратный перевод реализуется с помощью таких формул:
$\lambda = {x \over a} + {\lambda}_0 $ ;
$ \phi = {\pi \over 2} — 2 \arctan(e^{-y \over a} ({{1 — e \sin {\phi}} \over {1 + e \sin {\phi}}})^{e \over 2}) $ .
Широта вычисляется по итерационной формуле, в качестве первого приближения следует использовать значение широты, вычисленной по формуле для сферической проекции Меркатора.

Поперечно-цилиндрическая проекция Меркатора

Чаще всего используются две разновидности поперечно-цилиндрической проекции Меркатора — проекция Гаусса-Крюгера (англ. Gauss — Krüger ) (получила распространение на территории бывшего СССР) и универсальная поперечная проекция Меркатора (англ. Universal Transverse Mercator (UTM )).
Для обеих проекций цилиндр, на который происходит проекция, охватывает земной эллипсоид по меридиану, называемому центральным (осевым) меридианом (англ. central meridian, longitude origin) зоны. Зона (англ. zone ) - это участок земной поверхности, ограниченный двумя меридианами с разностью долготы в 6°. Всего существует 60 зон. Зоны полностью покрывают поверхность Земли между широтами 80°S и 84°N.
Отличие двух проекций заключается в том, что проекция Гаусса-Крюгера — это проекция на касательный цилиндр, а универсальная поперечная проекция Меркатора — это проекция на секущий цилиндр (для избежания искажений на крайних меридианах):

Проекция Гаусса-Крюгера

Проекция Гаусса-Крюгера была разработана немецкими учёными Карлом Гауссом и Луи Крюгером.
В этой проекции зоны нумеруются с запада на восток, начиная с меридиана 0°. Например, зона 1 простирается с меридиана 0° до меридиана 6°, ее центральный меридиан 3°.
В советской системе разграфки и номенклатуры топографических карт зоны называются колоннами и нумеруются с запада на восток, начиная с меридиана 180°.
Например, Гомель и окрестности относятся к зоне 6 (колонне 36 ) с центральным меридианом 33°.
Зоны/колонны делятся параллелями на ряды (через 4°), которые обозначаются заглавными латинскими буквами от А до V , начиная от экватора к полюсам.
Например, Гомель и окрестности относятся к ряду N . Таким образом, полное название листа карты масштаба 1:1 000 000 (10 км в 1 см), изображающей Гомель, выглядит как N-36 . Этот лист делится на листы карт более крупного масштаба:


Для Беларуси и соседних стран разграфка такова:

Для определения по топографической карте положения точки на карту наносят сетку прямоугольных координат X и Y , выраженных в километрах. Она образована системой линий, параллельных изображению осевого меридиана зоны (вертикальные линии сетки, оси X ) и перпендикулярных к нему (горизонтальные линии сетки, оси Y ).
На карте масштаба 1:200 000 расстояние между линиями сетки составляет 4 км; на карте масштаба 1:100 000 - 2 км.
Координата X подписывается на вертикальных краях листа карты и выражает расстояние до экватора, а координата Y подписывается на горизонтальных краях листа карты и состоит из номера зоны (первые одна или две цифры значения) и положения точки относительно центрального меридиана зоны (последние три цифры значения, причем центральному меридиану зоны присваивается значение 500 км).


фрагмент листа N36-123 советской топографической карты масштаба 1:100 000

Например, на вышеприведенном фрагменте карты надпись 6366 возле вертикальной линии сетки означает: 6 — 6-я зона, 366 — расстояние в километрах от осевого меридиана, условно перенесенного западнее на 500 км, а надпись 5804 возле горизонтальной линии сетки означает расстояние от экватора в километрах.

Универсальная поперечная проекция Меркатора

Универсальная поперечная проекция Меркатора (UTM ) была разработана инженерными войсками США (United States Army Corps of Engineers ) в 1940-х годах.

Для построения карт в проекции UTM ранее использовался эллипсоид International 1924 — сетка UTM (International) , а в настоящее время — эллипсоид WGS84 — сетка UTM (WGS84) .
В этой проекции зоны нумеруются с запада на восток, начиная с меридиана 180°.
Эта система используется вооруженными силами США и НАТО (англ. United States and NATO armed forces ):

Каждая зона разделена на горизонтальные полосы через каждые 8° широты. Эти полосы обозначены буквами, с юга на север, начиная от буквы C для широты 80° S и заканчивая буквой X для широты 84° N . Буквы I и O пропущены для избежания путаницы с цифрами 1 и 0. Полоса, помеченная буквой X , занимает 12° по широте.
Зона в этой проекции обозначается номером (англ. longitude zone ) и буквой (каналом широты, англ. latitude zone ):


На этом рисунке видны две нестандартные зоны долготы — зона 32V расширена для покрытия всей южной Норвегии, а зона 31V сокращена для покрытия только водного пространства.
Для Гомеля и окрестностей зона обозначается как 36U с центральным меридианом 33°:

Зона покрывается прямоугольной (километровой) сеткой (сеткой по универсальной поперечной проекции Меркатора, СУППМ):


Длина стороны квадрата сетки в вышеприведенном фрагменте карты составляет 10 км.

Точка начала системы координат для каждой зоны определяется пересечением экватора и центрального меридиана зоны.
Координата E (Easting ) на такой сетке представляет собой расстояние на карте от центрального меридиана в метрах (к востоку — положительное, к западу — отрицательное), к которому прибавлено + 500 000 метров (англ. False Easting
Координата N (Northing ) на такой сетке представляет собой расстояние на карте от экватора в метрах (к северу — положительное, к югу — отрицательное), причем в южном полушарии это расстояние вычитается из 10 000 000 метров (англ. False Northing ) для избежания появления отрицательных значений.
Например, для левого нижнего угла квадрата сетки на вышеприведенной карте координаты записываются как
36U (либо 36+ ) 380000 5810000 ,
где 36 — longitude zone , U — latitude zone , 380000 — easting , 5810000 — northing .

Преобразование широты и долготы в координаты UTM поясняется рисунком:

P — рассматриваемая точка
F — точка пересечения перпендикуляра, опущенного на центральный меридиан из точки P , с центральным меридианом (точка на центральном меридиане с тем же самым northing , что и рассматриваемая точка P ) . Широта точки F (англ. footprint latitude ) обозначается как $\phi ‘ $ .
O — экватор
OZ — центральный меридиан
LP — параллель точки P
ZP — меридиан точки P
OL = k 0 S — дуга меридиана от экватора
OF = N — northing
FP = E — easting
GN — направление на север сетки карты (англ. grid north )
C — угол схождения меридианов (англ. convergence of meridians ) — угол между направлением на истинный север (англ. true north ) и на север сетки карты

При преобразовании прямоугольных координат (X , Y ) для проекции Гаусса-Крюгера на эллипсоиде WGS84 в прямоугольные координаты (N , E ) для универсальной поперечной проекции Меркатора на том же эллипсоиде WGS84 необходимо учитывать масштабный коэффициент (англ. scale factor ) $k_0 = 0,9996 $ :
$ N = X \cdot k_0 $ ;
$ E = Y_0 + Y \cdot k_0 $ ,
где $ Y_0 = 500 000 $ метров.

Указанный масштабный коэффициент $k_0 = 0,9996 $ верен только для центрального меридиана зоны. При удалении от осевого меридиана масштабный коэффициент изменяется.

Примечание. Погрешность считывания координат с карты (georeferencing accuracy ) обычно принимается равной ±0,2 мм. Именно такую точность имеют устройства, применяемые при создании аналоговой карты.

Геоид

Следует отметить, что более точным приближением поверхности нашей планеты является геоид (англ. geoid ) — эквипотенциальная поверхность земного поля тяжести, т. е. поверхность геоида везде перпендикулярна линии отвеса. Но сила тяжести определяется векторной суммой гравитационной силы со стороны Земли и центробежной силы, связанной с вращением Земли, поэтому потенциал силы тяжести не совпадает с чисто гравитационным потенциалом .
Геоид совпадает со средним уровнем Мирового океана, относительно которого ведется отсчет высот над уровнем моря .
Геоид имеет сложную форму, отражающую распределение масс внутри Земли, и поэтому для решения геодезических задач геоид заменяется эллипсоидом вращения. Наиболее современной математической моделью геоида является EGM2008 , пришедшая на смену популярной модели EGM96 .

Продолжение следует.

Посмотрело: 9 375

Равноугольная цилиндрическая проекция Меркатора - основная и одна из первых картографических проекций. Одна из первых, так является второй в использовании. До ее появления пользовались равнопромежуточной проекцией или географической проекцией Марниуса Тирского, впервые предложенной в 100-м году до нашей эры (2117 лет назад). Данная проекция являлась не равновеликой ни равноугольной. Относительно точными на этой проекции, получались координаты мест наиболее ближе расположенных к экватору.

Разработана Герардом Меркатором в 1569 году для составления карт, которые публиковались в его «Атласе ». Название проекции «равноугольная » означает, что проекция сохраняет углы между направлениями, известные как постоянные курсы или румбовые углы. Все кривые на поверхности Земли в равноугольной цилиндрической проекции Меркатора изображаются прямыми линиями .

"... Картографическая проекция UTM была разработана в период с 1942 - 1943 годы в германском Вермахте. Ее разработка и появление, вероятно, осуществлялось в Abteilung für Luftbildwesen (Департаменте аэрофотосъемки) Германии... c 1947 года армия США использовала очень похожую систему, но со стандартным коэффициентом масштаба 0,9996 на центральном меридиане, в отличие от немецкого 1,0.

Немного теории (и истории) о равноугольной цилиндрической проекции Меркатора

В проекции Меркатора меридианы являются параллельными равноотстоящими линиями. Параллели представляют собой параллельные линии, расстояние между которыми вблизи экватора равно расстоянию между меридианами с увеличением при приближении к полюсам. Таким образом, масштаб искажений к полюсам становится бесконечным, по этой причине Южный и Северный полюса не изображаются на проекции Меркатора. Карты в проекции Меркатора ограничиваются областями 80° ‒ 85° северной и южной широты.

"Универсальная равноугольная поперечная проекция Меркатора (UTM) использует 2-х мерную декартову систему координат... то есть, она используется для определения местоположения на Земле, независимо от высоты места...

Все линии постоянных курсов (или румбов) на картах Меркатора представляются прямыми сегментами. Два свойства: равноугольность и прямые линии румбов, делают эту проекцию уникально подходящей для применения в морской навигации: курсы и направление измеряются с помощью розы ветров или транспортира, а соответствующие направления легко переносятся от точки к точке на карте с помощью параллельной линейки или парой навигационных транспортиров для вычерчивания линий.

Название и разъяснение определенное Меркатором на его карте мира Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendata: «Новое, дополненное и исправленное описание Земли для применения моряками » указывает на то, что она специально была задумана для использования в морском судоходстве.

Поперечная проекция Меркатора.

Хотя метод построения проекции не объясняется автором, Меркатор, вероятно, использовал графический метод, передавая некоторые линии румбов ранее нанесенные на земном шаре к прямоугольной сетке координат (сетки, образованной линиями широты и долготы), а затем отрегулировал расстояние между параллелями так, что эти линии стали прямыми, что создавало один и тот же угол с меридианом, как на глобусе.

Разработка картографической равноугольной проекции Меркатора представляло собой крупный прорыв в морской картографии XVI века. Тем не менее, ее появление намного опережало свое время, так как старые навигационные и геодезические методы не были совместимы с ее использованием в навигации.

Две основные проблемы мешали ее немедленному применению: невозможность определения долготы на море с достаточной точностью, и тот факт, что в морской навигации использовались магнитные, а не географические направления. Только спустя почти 150 лет, в середине XVIII века, после того, как был изобретен морской хронометр, и стало известно пространственное распределение магнитного склонения, картографическая равноугольная проекция Меркатора была полностью принята в морской навигации.

Картографическая равноугольная проекция Гаусса-Крюгера является синонимом к поперечной проекции Меркатора, но в проекции Гаусса-Крюгера цилиндр разворачивается не вокруг экватора (как в проекции Меркатора), а вокруг одного из меридианов. Результатом является равноугольная проекция, которая не сохраняет правильные направления.

Центральный меридиан находится в том регионе, который может быть выбран. По центральному меридиану искажения всех свойств объектов региона минимальные. Эта проекция наиболее подходит для картографирования территорий, протяженных с севера на юг. Система координат Гаусса-Крюгера основывается на проекции Гаусса-Крюгера.

Картографическая проекция Гаусса-Крюгера полностью аналогична универсальной поперечной проекции Меркатора, ширина зон в проекции Меркатора составляет 6°, тогда как в проекции Гаусса-Крюгера ширина зон составляет 3°. Проекцией Меркатора удобно пользоваться морякам, проекцией Гаусса-Крюгера сухопутным войскам в ограниченных территориях Европы и Южной Америки. Кроме того, проекция Меркатора 2-х мерная точность определения широты и долготы по карте не зависит от высоты места, тогда как проекция Гаусса-Крюгера - 3-х мерная, и точность определения широты и долготы находится в постоянной зависимости от высоты места.

До окончания Второй мировой войны данная картографическая проблема стояла особенно остро, так как она усложняла вопросы взаимодействия между флотом и сухопутными войсками при ведении совместных действий.

Экваториальная проекция Меркатора.

Можно ли объединить две эти системы в одну? Можно, что и было произведено в Германии в период с 1943 по 1944 годы.

Универсальная равноугольная поперечная проекция Меркатора (UTM) использует 2-х мерную декартову систему координат, чтобы предоставлять определение места на поверхности Земли. Подобно традиционным методом широты и долготы, она представляет горизонтальное положение, то есть, она используется для определения местоположения на Земле, независимо от высоты места.

История появления и развития картографической проекции UTM

Однако, она отличается от этого метода в нескольких отношениях. Система UTM не просто проекция карты. Система UTM делит Землю на шестьдесят зон, каждая из которых имеет шесть градусов долготы, и использует пересекающуюся поперечную проекцию Меркатора в каждой зоне.

Большинство американских вышедших публикаций не указывают на первоисточник системы UTM. Вебсайт NOAA, утверждает, что система была разработана Инженерным корпусом армии США, и опубликованный материал, который не утверждает происхождение, по-видимому, основывается на этой оценке.

"Искажение масштаба возрастает в каждой зоне UTM когда границы между зонами UTM приближаются. Тем не менее, часто бывает удобно или необходимо, измерить ряд местоположений в одной координатной сетке, когда некоторые из них расположены в двух соседних зонах...

Тем не менее, серия аэрофотоснимков найденных в Bundesarchiv-Militärarchiv (военной части Федерального архива Германии) по всей видимости, начиная с 1943 - 1944 годах имеют надпись UTMREF логически вытекаемые координатные буквы и цифры, а также отображаемую в соответствии с поперечной проекцией Меркатора. Эта находка великолепно указывает на то, что картографическая проекция UTM была разработана в период с 1942 - 1943 годы в германском Вермахте. Ее разработка и появление, вероятно, осуществлялось в Abteilung für Luftbildwesen (Департаменте аэрофотосъемки) Германии. В дальнейшем с 1947 года армия США использовала очень похожую систему, но со стандартным коэффициентом масштаба 0,9996 на центральном меридиане, в отличие от немецкого 1,0.

Для областей в пределах Соединенных Штатов использовался эллипсоид Clarke 1866 года. Для остальных районов Земли, в том числе для Гавайев использовался Международный эллипсоид. Эллипсоид WGS84 теперь обычно используется для моделирования Земли в системе координат UTM, означающее, что текущая ордината UTM в данной точке может отличаться до 200 метров от старой системы. Для разных географических регионов, например: ED50, NAD83 могут быть использованы и другие системы координат.

До разработки универсальной поперечной системы координат проекции Меркатора, некоторые европейские страны продемонстрировали полезность координатной сетки на основе конформных отображений (сохраняющих локальные углы) картографии для их территорий в межвоенный период.

Расчет расстояний между двумя точками на этих картах мог быть выполнен легко в полевых условиях (используя теорему Пифагора), в сравнении с возможным использованием тригонометрических формул, требуемых в соответствии с координатной сетки на основе системы широты и долготы. В послевоенные годы, эти концепции были расширены в Универсальной поперечной проекции Меркатора/Универсальная полярной стереографической системе координат (UTM/UPS), которая является глобальной (или универсальной) системой координат.

Поперечная проекция Меркатора представляет собой вариант проекции Меркатора, которая первоначально была разработана фламандским географом и картографом Герардом Меркатором в 1570 году. Эта проекция является конформной, означающей, что сохраняются углы и, следовательно, позволяет формировать небольшие регионы. Тем не менее, она искажает расстояние и площадь.

Система UTM делит Землю между 80° южной широты и 84° северной широты на 60 зон, каждая зона равна 6 ° долготы в ширину. Зона 1 охватывает долготы от 180° до 174° W (западной долготы); зона нумерации увеличивается в восточном направлении к зоне 60, которая охватывает долготы от 174° до 180° E (восточной долготы).

Каждый из 60 зон использует поперечную проекцию Меркатора, которая может сопоставить область большей степени север-юг с низким уровнем искажений. Используя узкие зоны 6° долготы (до 800 км) в ширину, и уменьшая масштабный коэффициент вдоль центрального меридиана 0,9996 (сокращение 1: 2500), величина искажения удерживается ниже 1-й части 1000 в внутри каждой зоны. Искажение масштаба возрастает до 1,0010 на границах зоны вдоль экватора.

В каждой зоне масштабный фактор центрального меридиана уменьшает диаметр поперечного цилиндра для получения пересекающейся проекции с двумя стандартными линиями или линиями истинного масштаба, около 180 км на каждой стороне, и примерно параллельны центральному меридиану (Arc cos 0,9996 = 1,62° на экваторе). Шкала меньше 1 внутри стандартных линий и больше 1 за их пределами, но общее искажение сведено к минимуму.

Искажение масштаба возрастает в каждой зоне UTM когда границы между зонами UTM приближаются. Тем не менее, часто бывает удобно или необходимо, измерить ряд местоположений в одной координатной сетке, когда некоторые из них расположены в двух соседних зонах.

Вокруг границ крупномасштабных карт (1: 100 000 или более) координаты для обоих примыкающих зонах UTM обычно печатаются в пределах минимального расстояния 40 км по обе стороны от границы зоны. В идеале, координаты каждой позиции должны быть измерены на координатной сетке для зоны, в которой они расположены, а масштабный коэффициент все еще относительно небольших границ ближней зоны можно перекрывать измерениями в соседнюю зону на некоторое расстояние, когда это необходимо.

Полосы Широт не являются частью системы UTM, а скорее частью опорной военной системы координат (MGRS). Они, однако, иногда используются.

Эллипсоидная проекция Меркатора.

Каждая зона сегментирована на 20 широтных полос. Каждая широтная полоса в высоту 8 градусов, и начинается литерными буквами с «C » при 80°S (южной широты), увеличиваясь по английскому алфавиту до буквы «X », пропуская буквы «I » и «O » (из-за их сходства с цифрами единицы и ноль). Последняя широта диапазона, «X », продлевается дополнительно на 4 градуса, так что она заканчивается на 84° северной широты, охватывая, таким образом, самую северную часть на Земле.

Заключение о картографической проекции (UTM/UPS) Меркатора

Широта полосы «A » и «B » действительно существуют, как и полосы «Y » и «Z ». Они охватывают западную и восточную стороны антарктических и арктических регионов соответственно. Удобно мнемонически помнить, что любая буква, стоящая перед «N » в алфавитном порядке - зона находится в южном полушарии, а любая буква после буквы «N » - когда зона находится в северное полушарие.

Сочетание зоны и широтной полосы - определяет зону координатной сетки. Зона всегда записывается первой, а затем широтная полоса. Например, положение в Торонто, Канаде, окажется в зоне 17-й и широтной зоне «Т », таким образом, полная ссылка зона координатной сетки «17Т ». Зоны координатной сетки служат для определения границ нерегулярных UTM зон. Они также являются неотъемлемой частью эталонной сетки военной системы координат. Метод также используется, чтобы просто добавлять N или S после номера зоны, чтобы указать северное или южное полушарие (к плановым ординатам координат вместе с номером зоны все необходимое для определения позиции, за исключения, на каком полушарии).

При движении судна постоянным истинным курсом линия курса пересекает каждый меридиан под одним и тем же углом и на земной поверхности эта линия получается двоякой кривизны, называемая локсодромией (что в переводе с греческого означает «косой бег»).

Плавание по локсодромии удобно, так как курс судна остается постоянным, а это упрощает все расчеты, связанные с прокладкой. Основные свойства локсодромии, проходящей через две точки, можно выявить из ее уравнения:

Из этого уравнения следует, что при К = 0° или К = 180° tg К = 0, тогда и λ2 - λ1 = 0, следовательно, на истинных курсах 0 или 180° долгота точек не изменяется и локсодромия совпадает с меридианом, превращаясь в дугу большого круга, и в данном случае проходит через земные полюса.

Если уравнение написать в виде

и принять К - 90° или К = 270°, то при этих значениях tg К = ~. Так как разность долгот λ2 - λ1 находящаяся в числителе, не может быть равна бесконечности, то должен быть равен нулю знаменатель, а он может быть равен нулю при 45° + φ1/2 = 45°+ φ2/2 т. е. когда φ1 = φ2.

Рис. 36

Следовательно, при К = = 90° или К = 270° широта точек не изменяется и локсодромия совпадает с параллелью или при φ2 = φ1 = = 0 - с экватором.

Для всех истинных курсов, отличных от 0 - 180° и 90 - 270°, локсодромия по спирали приближается к одному из полюсов, но никогда его не достигает (рис. 36).

Длина отрезка локсодромии, пройденного судном на данном курсе, не является кратчайшим расстоянием на земной поверхности. Кратчайшим расстоянием на земной поверхности при переходе судна из одной точки до другой будет дуга большого круга, называемая ортодромией (что в переводе с греческого означает «прямой бег»).

Ортодромия с каждым меридианом составляет переменные углы. Поэтому плавание по ортодромии требует предварительного вычисления как ее положения, так и курсов, которыми ведут судно по дуге большого круга (см. § 46).

Требования, предъявляемые к морским навигационным картам

При выборе проекции для построения той или иной карты всегда исходят из требований обеспечения решения задач, для которых она предназначается.

Картографическая проекция морских навигационных карт должна быть наиболее удобной для их использования в море, т. е. для решения основных задач по обеспечению безопасности судовождения наиболее простыми способами и приемами.

Исходя из этого, картографическая проекция морских навигационных карт должна удовлетворять следующим требованиям. Чтобы: линия пути судна, идущего постоянным курсом, т. е. локсодромия, изображалась прямой линией;

Величина углов, измеряемых с судна между разными ориентирами на местности, соответствовала величинам углов между теми же ориентирами на карте, т. е. проекция карты должна быть равноугольной; масштаб в пределах карты изменялся в возможно малых пределах т. е. искажения длин на карте не превышали ошибок графических построений и измерений на карте, выполняемых с помощью прокладочного инструмента.

Удовлетворяющие этим требованиям карты построены по проекции, предложенной в 1569 г. голландским картографэм Герардом Кремером, известным под именем Меркатора, поэтому эта проекция называется меркаторской. Меркаторская проекция является равноугольной цилиндрической проекцией, на ней земные меридианы и параллели изображаются прямыми, взаимно перпендикулярными линиями, а локсодромия - прямой, составляющей с меридианами один и тот же угол.

Математическое обоснование принципа меркаторской проекции

Представим, что изображение Земли выполнено в виде глобуса (рис. 37), меридианы на нем сделаны из стальных упругих проволок, закрепленных у полюсов, а параллели - из растягивающегося материала, скрепленные с меридианами.

Рис. 37

Меридианы и параллели окрасим краской и освободим крепления проволочных меридианов у полюсов. Тогда меридианы выпрямятся, а параллели растянутся и на внутренней поверхности цилиндра как бы отпечатаются. Теперь разрежем цилиндр по образующей (по одному из меридианов); на нем будет нанесена прямоугольная сетка (следы параллелей и меридианов), в которой длина меридианов осталась неизменной, а каждая параллель растянулась до длины экватора. При этом параллель, близкая к экватору, растянется меньше, а с увеличением широты растяжение параллелей увеличивается все значительнее. Остров К круглой формы, который был на глобусе, на развернутой плоскости цилиндра спроектируется в виде овала. Для сохранения подобия изображения на глобусе и проекции его на плоскости необходимо соответственно вытянуть по длине и меридианы.

Для доказательства этого положения рассмотрим рис. 38, где обозначим радиус параллели пп через r, широту этой параллели cp, радиус глобуса R.

Рис. 38

Из треугольника пОе, в котором сторона Ое = r, получим r = R - cos φ, a R = r * 1/cos φ или R = r - sec φ. Умножив обе части равенства на 2я, получим 2ПR = 2Пtr*sec φ.

Следовательно, каждая параллель на карте цилиндрической проекции растягивается на величину, пропорциональную секансу своей широты. Поэтому для сохранения подобия фигур на карте фигурам на местности отрезки меридианов необходимо растянуть пропорционально sec φ, чем будет достигнута равноугольность проекции.

Меридиональные части

Расстояния по меридиану от экватора до данных параллелей на меркаторской карте, выраженные в линейных единицах, называются меридиональными частями. Они обозначаются буквой D.

Для удобства меридиональные части выражают длиной дуги экватора в I, называемой экваториальной милей.

В табл. 26 (МТ-63) длина меридиональных частей рассчитана применительно к эллипсоиду Красовского.

Значения в таблице вычислены для широт от 0 до 89° 59" через 1" широты с точностью до 0,1 экваториальной мили. Для определения величины меридиональных частей на промежуточных значениях минуты широты (для десятых долей 1") применяют простое интерполирование.

Пример. Найти меридиональную часть для параллели 50° 18",5.

Решение. По табл. 26 (МТ-6.3) находим:

Расстояние по меридиану на меркаторской проекции между двумя параллелями, выраженное в экваториальных милях, называется разностью меридиональных частей (РМЧ) и обозначается AD.

Разность меридиональных частей двух параллелей равна алгебраической разности меридиональных частей этих параллелей

Пример. Определить разность меридиональных частей параллелей cp1 = 63°40" N и cp2 = 66°20" N.

Решение. По табл. 26 (МТ-63) находим:

Пример. Определить разность меридиональных частей параллелей cp1 = 5°12" N и cp2 = 3°28, 5.

Решение. По табл. 2 6 (МТ-63) имеем:

Меридиональные части используют при построении картографической сетки морских карт в меркаторской проекции, а разность меридиональных частей входит в одну из основных формул письменного счисления (см. гл. VII) .

Разность меридиональных частей двух параллелей, отстоящих друг от друга на 1", даст нам длину отрезка, изображающего на карте меркаторской проекции одну экваториальную минуту в данной широте. Эта разность меридиональных частей представляет не что иное, как изображение одной морской мили на карте меркаторской проекции. Меркаторской милей пользуются как единицей линейного масштаба для измерения широт и расстояний на карте меркаторской проекции.

Поскольку морская миля, как это было указано ранее, имеет постоянную величину на поверхности Земли, то она на морской карте меркаторской проекции изображается отрезками различной длины, в зависимости от широты места, к которому она относится.

Решение. 1) Выбираем меридиональные части для широт 39°30" и 40°30" по табл. 26 (МТ-63) :

Отсюда меркаторская миля в широте 40° равна 78,0/60 = 1,3 экв. мили.

2) выбираем меридиональные части для широт 69°30" и 70°30":

Следовательно, в cp = 70° меркаторекая миля равна 175,4/60 = 2,923 экв. мили. Из этого примера видно, что отношение длины меркаторской мили в cp = 70° к длине ее cp = 40° равно 2,923/1,3 = 2,248, т. е. меркаторская миля в ср = 70° изображается отрезком, в 2,248 раза большим, чем в cp = 40°.

Поэтому при измерении по морской навигационной карте расстояний между какими-либо точками необходимо расстояния в одну милю или в несколько миль брать всегда с боковой рамки карты в той же самой широте, в какой расположены точки. Практически для измерения расстояний на карте меркаторской проекции пользуются длиной меркаторской мили, соответствующей средней широте измеряемой линии.

Главный и частный масштабы карт меркаторской проекции

Главным масштабом на меркаторской карте называется масштаб, отнесенный к экватору (если проекция построена на поверхности касательного к нему цилиндра) или к параллели сечения, называемой главной параллелью (если проекция построена на поверхности секущего цилиндра).

Частный масштаб в меркаторской проекции постоянен по всем направлениям не только в данной точке, но и во всех точках, принадлежащих одной и той же параллели.

За пределами экватора или главной параллели, численное значение частного масштаба будет отличаться от главного масштаба, изменяясь все более по мере удаления к северу или югу от экватора или главной параллели.

Если проекция построена на поверхности касательного цилиндра, то на экваторе увеличение масштаба с = 1, а поскольку каждая параллель равна экватору (растянута в sec φ раз), то на каждой параллели с = sec φ.

Например, в широте 30° увеличение масштаба будет в 1,5 раза, в широте 60° - в 2 раза, а в широте 80° - в 5,75 раза.

При построении проекции на поверхности секущего цилиндра на главной (секущей) параллели увеличение масштаба с = 1.

В такой проекции все параллели становятся равными главной, и при этом все параллели, находящиеся ближе к полюсу, чем главная, растягиваются во столько раз, во сколько секанс широты данной параллели sec φ больше секанса широты главной параллели sес cpг.п. Следовательно, на этих параллелях увеличение масштаба с>1 . Параллели, расположенные к экватору, сокращаются во столько раз, во сколько sec φ ГП. больше sec φ, и, следовательно, с
Так как увеличение масштаба - отношение частного масштаба к главному c = μ/μ0 то частный масштаб μ = cμ0. Если х заменить отношением 1/C (С - знаменатель частного масштаба), а главный масштаб μ0 выразить через 1/C0 где С0 - знаменатель главного масштаба, то знаменатель частного масштаба

штаба для точек каждой параллели при построении проекции на поверхность касательного цилиндра определится из выражения С =
а при построении на поверхность секущего цилиндра С=

Морские карты, как правило, охватывают незначительные участки земной поверхности, поэтому в пределах карты величины главного и частных масштабов мало отличаются друг от друга. По главному масштабу, указанному в заголовке карты, судоводитель выбирает карты для решения тех или иных задач.

Предельная точность масштаба

От масштабов карт и планов зависит точность, с которой на них можно производить линейные измерения.

Линейное расстояние на местности, соответствующее 0,2 мм на карте или плане, называется предельной точностью масштаба. Величина 0,2 мм принята потому, что она приблизительно равна диаметру углубления, получаемого на карте при уколе иглой циркуля, и соответствует минимальной величине, различаемой невооруженным глазом. Величина предельной точности масштаба зависит от масштаба карты. Так, если масштаб карты 1/100000 то эта величина будет 20 м.

Следовательно, линия, проведенная на карте такого масштаба остроотточенным карандашом, будет соответствовать на местности полосе шириной 20 м и на этой карте мы не сможем различить расстояний меньше 20 м.

Вперед
Оглавление
Назад